现代物理学告诉我们，宇宙可能是有穷的，时空也可能是离散而非连续的，但在现代数学中我们似乎有着非常确定的、关于某些无穷和连续的数学对象和结构的真理。这些独立于物质世界的数学对象和结构果真存在吗？数学定理果真是关于它们的客观真理？我们的物质性的、有限的大脑又如何真的可能认识那些独立于物质世界的、而且是无穷的事物？也许不应该以这种方式理解数学真理？这是令当代西方一些哲学家困惑的一个问题。本文的目的是向哲学专业以外的读者介绍近代与当代一些哲学家对这个问题的思考，并作一些评述。
撰文 | 叶峰（首都师范大学哲学系教授）
1 数学真理是什么？
如果问题是数学的内容是什么，那么回答自然是，数学包括分析、代数、几何等等。但我们这里关心的是，这些分析、代数、几何中的定理是什么性质的真理，它们与我们所认识到的其它真理，比如自然科学中的真理，有什么共同点与差异？尤其是，数学真理的基础是什么？或者说，数学定理之为真，是依赖于什么？
比如，自然科学中的一个论断的真假，是依赖于该论断是否与现实的物质世界的实情相符合。大爆炸宇宙模型是真的，指的是这个现实的宇宙确实是像这个模型所描述的,或者说，这个模型符合这个现实的宇宙；同样，牛顿运动定律是近似地真的，指的是它们近似准确地描述了现实世界中的物质运动的实情。这些都是常识，没有什么特别深奥的。那么，说一个数学命题是真的，也是指该命题真实地描述了某个数学世界中真实存在着的数学对象与结构吗？比如，说一个关于自然数的命题是真的，也是指该命题真实地描述了真实存在着的自然数吗？听起来这好象是显然的，但是仔细分析一下我们会看出，它实际上蕴含了一个谜。
首先，它蕴含了存在着一个独立于物质世界的抽象的数学世界。因为现代物理学告诉我们，我们生存于其中的这个物质世界可能是有穷的：在宏观上，大爆炸宇宙模型提供了一个宏观上有穷的宇宙模型；在微观上，有关量子引力的一些现象，显示着在微观的普朗克尺度上，时空的自由度可能是有限的，这意味着，时空在微观上可能是离散的而不是连续的。而另一方面，数学中的许多对象和结构是很确定地被描述成无穷的对象和结构。最简单的自然数也有无穷多个。虽然宇宙是有穷还是无穷在现代物理学中没有定论，但我们可以假设，即使现实的物质世界果真是有穷的，数学定理的真理性应该还是不变的。至少，“对任一自然数，都有一个比它大的另外一个自然数”这样一个命题应该还是真的。这已经意味着，数学中的无穷的对象和结构，应该是与现实的物质世界无关的对象和结构。即使现实的物质世界果真是有穷的，我们还是有同样的无穷多个自然数、同样的数学真理。我们甚至将数学应用于明显是有穷的领域，比如经济学中。可见，即是整个宇宙是有穷的，那也不过就像在经济学领域一样，我们还是可以应用同样的数学。在那里，虽然无穷的数学模型只是近似地描述了现实世界中的现象，但是数学定理对于那些无穷数学模型来说，应该是严格准确地真的。所以，那些无穷数学模型中的数学对象和结构，只能是存在于一个独立于现实的物质世界的数学世界中。换句话说，数学世界只能是一个独立于现实的物质世界的独立王国。
是否果真存在着这样一个独立的数学王国，当然会引起我们的怀疑。更重要的是，我们人类应该是这个现实的物质世界中的一个部分。我们的大脑，应该是这个现实的物质世界长期进化的产物。我们的知识应该来源于我们的大脑通过我们的感觉器官与物质世界的相互作用。所以，一个哲学上的谜就是：这样一个有限的大脑与有限的物质世界的相互作用，如何能够产生对那个独立王国中的无穷、甚至超无穷的数学对象和结构的知识？这是否意味着我们有着独立于物质性的大脑的某种心灵，而且我们的心灵有着某种神秘的直觉，可以认识超出有限的物质世界之外的无穷、甚至超无穷的数学对象和结构？这是否意味着神秘主义？换句话说，它是这样一个谜：一方面，直观上我们似乎确实有着关于无穷、甚至超无穷的数学对象和结构的知识；另一方面，如果它们真的是独立于现实的物质世界的对象和结构，我们究竟是如何得到关于它们的知识的？究竟是依据什么来断定一个数学定理或公理是真的？我们不能观察到那些无穷的对象和结构，不能像对牛顿力学那样，用观察来验证它是近似地真的，用观察来验证它不如相对论更准确等等。所以，一个数学命题之为真的依据究竟是什么？
也许，并没有这样一个独立于现实的物质世界的数学上的独立王国。那么，数学真理又是什么？数学定理还是客观真理吗？一种自然的想法是，数学公理只是假设。它们本身不是客观真理。数学家们只是从那些假设推导出定理。但是，数学家们显然不是在随意地作假设。科学家们作一些科学假说，是因为他们揣测那些假说可能是真的，然后他们用实验去验证或反驳那些假设。同样地，数学家们接受了一些公理，从那些公理推导出定理，是因为他们确实直觉到那些公理的自明性。他们不会任意地选择一些命题作为公理，然后就去推导定理。比如，假设用现有的公理可以证明哥德巴赫猜想，而用另外一些公理可以推导出哥德巴赫猜想的否定。假如公理仅仅是一些任意的假设，那么是不是说哥德巴赫猜想本身也无所谓真假了？将数学公理仅仅看成假设，可能是因为混淆了两类不同意义上的公理。一种是像一些数学结构的定义公理，比如群的定义公理。这些公理确实只是假设。群的定义只刻画了群这一类结构，它们本身不蕴涵群存在。要证明群存在，需要一些更基本的更实质性的公理，也就是集合论中的公理，它们断言空集存在，两个集合的并集存在等等。特别地，要证明无穷群存在，需要集合论中的所谓无穷公理，即至少存在一个无穷集。无穷公理似乎不仅仅是假设。它直接地断定无穷集存在。如果它是假的，如果无穷集不存在，那么很大一部分数学似乎就无意义了。而且，从另一方面看，既然像无穷公理、选择公理这样的假设，使得所推导出的数学定理在科学中有着广泛的应用，我们能否说科学就证明了这些假设不仅仅是随意的假设，而是蕴含着真正的真理？
这些问题，是关于数学真理是什么的主要问题。概括起来是：数学真理是什么性质的真理？一个数学命题之为真是依赖于什么？我们是依据什么来认识数学真理和判断一个数学命题（包括公理）为真的？我们将称之为数学的真理性问题，或关于数学真理性的困惑[1]。
本文的目的不是回答这些问题。本文的目的是简要地介绍历史上哲学家们对数学真理的本质的思考，考察它们是否提供了对这个问题的答案。同时我们还想从中寻找一些发展脉络，尤其是考察，种种困难如何迫使哲学家们对数学真理的定位摇摆于逻辑真理与经验科学的真理之间。这里，我们是从现代数学的角度提出这些疑问的。现代数学产生之前的对数学真理的本质的哲学思考，不可避免地有着它们的时代局限性，但是它们在今天还是会有一些启发性的意义。所以本文将从考察恩格斯对数学的定义和康德对数学真理的定位开始。但我们将主要考察最近一百年来西方哲学家对这些问题的思考，并对之作出一些评价。另外，本文的目的不是要完整地描述数学哲学的历史，所以我们将只考察那些与数学真理的本质与定位有关的哲学思想。
我们将侧重于这些哲学问题，但是本文将不假设读者具备任何哲学史或现代数理逻辑的知识。关于数学真理的本质的问题，应该是任何具备了一些现代数学和自然科学常识的人都可以认真思考的问题。本文的目的之一，是希望能引起非哲学专业的读者们对这一问题的兴趣。因此，我们将不繁琐地引证我们对一些哲学家的思想的阐释的正确性，而将侧重于用非专业性的语言，勾画出历史上哲学家们对这些问题的思考的脉络。另一方面，对数学真理的本质的思考，确实又是西方哲学的主要动力之一。从毕达哥拉斯和柏拉图，到康德，又到二十世纪以来的西方分析哲学，哲学家们都想为数学真理在我们的知识大厦中找到一个合适的位置。而这种努力所遭遇到的困难，使得一些哲学家们提出了一些深刻的见解，也迫使一些哲学家提出了一些从常识看来似乎是荒谬的世界观。理解这一点，也有助于理解西方哲学。
2 数学与自然科学
最常听到的对数学的定义也许是恩格斯的定义：“数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学”。许多人已经正确地指出，现代数学的内容已经远远超出“现实世界的数量关系与空间形式”所能概括的范围。现代代数学中所研究的代数结构，和现代分析中所研究的函数空间等等，很难用“数量关系”来概括；现代几何学所研究的，也远远超出了“现实世界的”空间形式。尤其是，现代数学中研究的许多对象是无穷的对象，包括无穷的代数结构，无穷的几何空间等等，而现代物理学告诉我们，我们生存的这个物理世界有可能是有穷的。所以数学中研究的许多对象，已经远远超出了“现实世界”。基于这一点，特别是由于布尔巴基学派的影响，有人提出，恩格斯的定义可以修改为：“数学是关于抽象模式或抽象结构的科学”。
但是，这种简单草率的推广忽略了一个非常严重的问题。在恩格斯原来的定义中，“现实世界”这个限制与“科学”这个概括其实是密切相关的。自然科学探索关于现实世界的真理。自然科学中的论断的真理性依赖于现实世界的实际构成，是对现实世界的反映。大爆炸宇宙模型如果是真的，那是由于现实的宇宙恰好是如此。牛顿引力理论是近似地正确的，那也是由于现实的物质世界恰好是如此。自然科学可能会发现一些一般性的定律，独立于我们在这个现实世界中观察到的偶然的初始条件，但是它们也是关于现实世界的一般性定律。我们也许可以想象另外一种物质世界，在其中，物理定律与这个真实的世界中的物理定律完全不同。但这不是自然科学所关心的。自然科学关心的是这个真实的世界。对自然科学真理的验证，依赖于我们对现实世界的观察，来源于我们的经验。如果数学研究的也是现实世界中的数量关系与空间形式，那么数学与自然科学在本质上是相同的，因此数学可以被归类在科学之下。比如，也许与物理学相比，数学只是考虑现实世界中物体的一些更简单、更一般的属性。比如只考虑物体的个数、形状等“数量与几何属性”，而不考虑它们的质量、颜色等物理属性。也许m+n=n+m与物理定律一样，是对现实世界中物体的个数的真实描述，只不过它比物理定律更简单，已经经过了无数次的经验验证。同样地，也许平面几何中的定理，是对现实世界中物体的形状的真实描述，虽然在几何学中我们可以通过证明来得到许多这些真理，而不必去直接地测量，因为只要那些公理是对现实世界中物体的形状的真实描述，由公理严格推导出的定理也一定是对现实世界中物体的形状的真实描述。所以恩格斯的定义虽然不能概括现代数学，但至少在逻辑上是自洽的，在概念上是清晰的，而且用于初等数学时，有明显的合理性。
但是，如前所述，现代数学研究的是所谓抽象结构，包括与现实物质世界毫不相干的结构，比如与现实的宇宙毫不相干的一些几何空间，因此现代数学应该在本质上不同于自然科学。将研究抽象结构的数学称为“科学”，掩盖了一些根本性的问题：比如，所谓的抽象结构，尤其是超出这个现实世界的结构，究竟是什么？它们果真存在吗？数学真理的基础又是什么？比如集合论中的所谓无穷公理，即至少存在一个无穷集，假如现实的物理世界在微观和宏观上都是有限的，那么无穷公理的真理性的基础又是什么？还有，现代数学中广泛地用到选择公理，它的真理性的基础又是什么？显然它们不能像自然科学中的真理一样，是基于它们与现实的物质世界相符合，因为现实的物质世界中可能根本不存在无穷。如果它们的真理性依赖于它们与所谓的抽象结构相符合，那么就有了上一节所提到的那些谜：既然我们不能用眼睛，甚至不能用望远镜去观察它们是否符合，我们究竟是如何认识那些公理的真理性的？
这些都显示着现代数学与自然科学的差异，以及将现代数学描述为关于抽象模式或抽象结构的科学所带来的问题。所以，对现代数学而言，关于数学真理的基础究竟是什么这一问题，恩格斯的定义没有提示明确的答案。
3 康德：数学真理是先天综合判断
其实，即使限于初等数学，而且限于将初等数学定理看作是关于现实世界中的数量关系与空间几何形式的真理，将数学视为同物理学一样的经验科学，也有着一些难点。所以，与之相对应的，有哲学家康德对数学的定位：数学真理是所谓先天综合判断。下面我们将简要地解释一下这意味着什么。
首先，我们可以想象一个有着不同的物理规律的世界，但我们似乎无法想象一个2+3不等于5的世界。所以2+3=5似乎有着与物理规律不同的普遍性与必然性。儿童们可能是通过数石子、积木等物体来学习2+3=5，但这与科学家们通过观测来发现或验证物体间万有引力的平方反比定律，似乎有着实质性的区别。我们有着关于引力的概念，有着关于距离的概念，但这些概念本身并不必然地蕴涵着物体间的引力与距离的平方成反比。这个定律的真实性依赖于这个世界的偶然的构成；同时，要认识和验证这个定律，我们必须实际地去观测这个世界中的物体。可是，一旦我们掌握了数与加法的概念，我们并不再用数石子去验证关于加法的真理，比如1234+5678=6912，或者m+n=n+m。假如有人真的找了那么两堆石子来数，然后声称得出的结果是1234+5678不等于6912，我们不会认为他找到了一个反例。这与科学家通过观测光线通过太阳附近的弯曲来寻找牛顿力学的反例不同。我们也不能通过数石子来验证像m+n=n+m这样一般性的结论。对于非常大的两个数的和，有限的宇宙间也许根本没有那么多物体来数。我们认为1234+5678=6912与m+n=n+m的正确性是依赖于数与加法的概念，而不是依赖于这个物质世界的偶然构成。在现实世界中，2升的酒精加到3升的水中，由于溶解作用，可能我们并不得到5升的溶液，但我们认为这与2+3=5的真理性不相干。在这些意义上，像2+3=5与m+n=n+m这样的数学真理，是所谓先天真理：它们是必然的，它们的普遍性超出我们任何可能的经验；虽然我们可能是通过经验才意识到它们的真理性，但它们的真理性不依赖于我们的经验。
另一方面，有一种类型的判断，其为真确实不依赖于我们具体的经验，而是仅仅依赖于其中的逻辑连接词的含义或概念的定义。这些是所谓分析真理。通常所说的逻辑真理是分析真理中简单的一种。逻辑真理指的是那些仅仅依逻辑连接词的含义就为真的判断，比如“今天下雨或者今天不下雨”，“如果今天下雨而且今天打雷，那么今天下雨”。他们之为真，仅仅依赖于其中的逻辑连接词的意义，也就是“或者”，“而且”，“不”，“如果，那么”这些词的意义，甚至与“下雨”等这些概念无关，更不用说与今天是否真的下雨无关。另外一种类型的分析真理，是依概念的定义为真的真理，比如，“植物是生物”。这个判断为真，仅仅依赖于“植物”与“生物”这两个概念的定义，其中“植物”的定义，就包含着植物是某种生物，而不论宇宙中是否真有植物或生物。要认识这个真理，我们也不需要去观测宇宙中是否真有植物或生物，或者宇宙中的植物或生物是怎样的。对于一个像“植物是生物”这样的分析真理，如果将其中相关的概念的定义明确地表达出来作为一些前提，那么这个分析真理就是这些前提的逻辑推论。例如，“植物”的定义也许是“植物是……的生物”，以此为前提，就可以逻辑地推导出“植物是生物”。换句话说，一个命题P是分析真理，当且仅当“如果P*，那么P” 是纯粹逻辑上的真理，其中P*是表达P中的相关概念的定义的命题。如果P本身就是像上面所说的“A 或者并非A”那样的逻辑真理，那么它是这个分析真理的定义的一个特例，因为在这种情形下，“如果P*，那么P”自然也是逻辑真理。分析真理的真理性基础应该是清楚的。它们之为真，是依赖于相关的概念的涵义。它们近于所谓的同语反复，是空洞地真的。给定了相关的概念的涵义后，一个分析真理，不含任何超出概念的涵义之外的事实内容，不对现实世界中的事实作任何肯定或否定。就像“今天下雨或者今天不下雨”，对现实世界中的事实作没有作任何肯定或否定。
但是康德认为，2+3=5不是分析真理，因为“2”、“3”和“+”的概念中似乎不包含“5”这个概念。“2”、“3”、“5”和“+”这些概念必然地蕴含着2+3=5为真，但是康德认为这不能仅仅由分析这些概念得出。同时，这样的真理似乎不是同语反复，不像“植物是生物”或者“今天下雨或者今天不下雨”那样，对现实世界中的事实作不作任何肯定或否定。它们似乎有着一些真实的内容。
与分析真理相对立的就是所谓综合真理。所以康德的结论是，数学真理是先天综合真理。一方面，它们有着与普通的经验真理不同的必然性，它们之为真，不依赖于我们有意识地观测到的关于这个世界的一些偶然事实，而且，对它们的认识和验证，也不依赖于对现实世界的观测；另一方面，它们之为真，也不仅仅依赖于我们的概念的定义，它们不是简单的同语反复。从这后一结论我们可能会得出，既然它们不仅仅依赖于我们的概念的定义，它们就一定依赖于关于这个世界的一些实际的事实。比如，既然它们不像“今天下雨或者今天不下雨”那样是一个空洞的真理，那么它们就应该像“今天不下雨”那样，是一个有事实内容的真理，因此这似乎就与前一结论，即与它们的必然性与先天性相矛盾。同样地，从它们的必然性与先天性我们可能会得出，既然对它们的认识和验证不依赖于对现实世界的观测，它们应该就没有对现实世界中的事实作作任何肯定或否定，因此应该就是像“今天下雨或者今天不下雨”那样，是一个空洞的分析真理。这个困惑，就是康德的哲学所要回答的。他要回答，先天综合真理是如何可能的，我们关于先天综合真理的知识又是如何可能的。由此也就回答了，数学真理是什么以及我们是如何得到数学真理的。
康德的回答，用通俗的语言极其简单地概括起来是：我们用于认识世界的认知官能本身有一些结构和功能（又叫先天认知形式）；我们的认知官能，用这样一些“先天”的结构和功能，来组织我们的感官所接受到的、从外部世界来的感觉材料；而先天综合真理，就是由我们的认知官能的这些先天的结构和功能决定了的真理。换句话说，我们认识世界的器官，不是简单地反映外部世界。它对我们的感官所接受到的原始的感觉材料，如视觉形象、声音等等，作了一些组织和处理，使得感官所接受到的感觉材料不是无秩序的、无结构的。比如，将相关的感觉材料组合成关于一个物体的印象，将它们排列成时间空间上的顺序和关系，排列成因果关系上的关联顺序等等。这样组织的结果，自然使得我们得到的对外部世界的印象，符合某些规律。这些规律，实际上是我们的认知官能加在外部世界上的。因此，有些真理，比如几何学中关于空间关系的一些最基本的真理，是我们认识世界的器官的这种运作的结果，是由我们认识世界的器官的这种功能本身决定的。换句话说，也许并非外部世界是真正地如此，而是我们认识世界的器官的一些内在的结构，决定了我们只能以某种方式来认识这个世界，所以使得我们所认识的世界只能符合某些真理，也就是说，使得一些关于这个世界的判断对我们来说是必然地真的。同时，对这些真理的验证，也并不真的依赖于对这个世界的实际的观察，因为所有可以观察到的东西，由于我们本身用于观察和认知的器官的一些内在的结构，都已经必然地符合这些真理了。所以它们是先天的真理。另一方面，既然我们的认知官能确实对我们的感官所接受到的原始的感觉材料作了组织和处理，那么反映组织和处理的结果的真理，就不会仅仅是空洞的同语反复，而是有着确实的内容。因此它们不是分析的真理。先天综合真理就是这样一些对我们来说必然的，绝对普遍的，不真正地依赖于经验的，但又是有内容的，有所肯定的，不仅仅是同语反复的真理。
康德的哲学非常复杂，我们不可能在这里做深入的讨论。这里，我们只想指出它的两个难点。首先，如果仅仅限于对现实世界中我们所能直接观察到的数量关系与空间形式的判断，康德的解释，似乎确实比简单地将数学等同于其它经验科学更合理、更深刻。从现代科学的角度看，由现代语言学与现代认知科学所揭示的，我们的大脑显然有着某种先天结构。并非我们所有的知识都是对我们的感官所接收到信息的简单记录或简单概括。我们的一些知识可能是由我们的大脑的先天结构决定的。比如，一个能够学习的人工智能系统或机器人，在开始学习之前，必定是先掌握了一些最基本的知识，它们是由系统的程序的结构所决定的。所以，即使是从现代科学的角度看，康德的解释也有它的合理性，虽然康德是从所谓超验的角度来考察这个问题，不是像现代认知科学那样，是从经验的角度研究人如何获得知识。
但问题是，现代数学似乎有它自己的独立于现实世界的对象。因此，现代数学的真理是否也是由我们的认知官能的先天结构决定的，有很大的疑问。如果我们的认知官能的功能，是对我们的感官所接受到的感觉材料进行组织和处理，那么由于我们的感官所接受到的感觉材料都是有穷的，这种认知官能的先天的结构如何能够决定现代数学中关于无穷数学对象和结构的真理？包括关于超穷的集合的真理？康德本人对无穷所导致的所谓二律背反的态度也说明了，要将现代数学中对无穷数学对象和结构所肯定的真理纳入康德式的解释，会有实质性的困难。现代数学与初等数学不同。初等数学中的基本公理，似乎是由我们最直接、最原始的直观就能认识到。现代数学中对一些概念和数学公理的认识，比如对超穷集合概念、无穷基数概念，选择公理等等的认识，是经历了类似于科学中的尝试、错误、再尝试的长期的经验过程，不是像学习数数那样，仅仅是伴随着儿童的大脑发育过程的学习过程。因此，很难认为我们对超穷集合、选择公理等等的知识，也是先天地由我们的认知官能的先天结构决定的。
关于康德的数学观的第二个难点是，康德没有对“2”、“3”，“5”和“+”这些概念究竟是怎样的概念作出足够清晰的分析。比如，“3”这个概念，是否就包含着“3是2后面的那一个自然数”？如果是的话，这是否意味着，2+1=3就是依概念的定义而为真的？由此更进一步，我们能否通过更仔细的分析得出，（2+1）+1=4，乃至2+2=4，2+3=5等等都是依概念的定义而为真的？因此实际上它们都是分析真理？
这两个难点说明，康德对数学真理的解说是不完全的，而且不适于现代数学，至少在未经改造之前不适于现代数学。但同时我们也看到了康德的努力的动因：数学真理，一方面似乎不像“今天下雨或者今天不下雨”那样是一些空洞的、与内容无关的真理；另一方面，它们也不像“今天不下雨”那样是一个直截了当的事实的真理。
4 弗雷格：数学真理就是分析真理
前面提到，康德没有对数的概念作足够细致的分析。十九世纪末，逻辑学家与哲学家弗雷格正是对包括“2”、“3”，“5”和“+”等的算术概念作了更深刻的分析，由此他试图证明，算术中的真理实际上也是由概念的定义而为真的，就像上面所提示的那样，因此也就是分析真理。[2]作为这种分析的工具，弗雷格发明了现代数理逻辑，成为继亚里士多德以来逻辑学中最伟大的成就。康德之所以未能做到这一点，就是因为他缺乏这种分析所需要的逻辑工具。
弗雷格对自然数概念的分析很容易通过集合与集合之间的等势关系来理解。两个集合等势，指的是两个集合的元素之间有一个一一对应，也就是两个集合的元素的个数相等。这里很重要的是，“两个集合的元素的个数相等”这个概念并没有真正依赖于“数”这个概念，它只依赖于“一一对应” 这个概念。这个概念是可以用弗雷格所发明的现代数理逻辑语言表达的。然后，一个自然数，就可以定义为一个由所有两两等势的集合（也就是所有元素个数等于那个自然数的集合）所组成的一个类。比如2这个数，就相当于所有恰好包含两个元素的集合组成的类。
这是用了现代集合论的术语来解释弗雷格的自然数概念。弗雷格本身是将“概念”作为他的理论的初始概念，而将一个集合或类看成一个概念的外延。对于概念，我们说某个东西会“落在这个概念当中”，比如，弗雷格落在“人” 这个概念当中，因为弗雷格是一个人。这相当于说，弗雷格属于“人” 这个概念的外延，即所有的人组成的集合。这样，相应于将数看成一个由所有两两等势的集合所组成的一个类，弗雷格认为一个自然数是一个所谓的二阶概念，或一个概念的概念。一个概念的概念的外延就是一个由一些概念组成的集合或类。概念之间也有等势关系。两个概念是等势的，假如它们的外延是等势的集合。所以，一个自然数是这样一个概念的概念，它的外延是由所有两两等势的概念组成的一个类。比如，“2”就是这样一个概念的概念：一个概念P落在“2”这个概念的概念之中，当且仅当P的外延恰好包含两个元素。更具体地说，自然数0是这样一个概念的概念：一个概念P落在0中，当且仅当P的外延是空的，即P是一个空概念；1是这样一个概念的概念：一个概念P落在1中，当且仅当对任何落在这个概念P中的对象x，概念“是P但不等于x”是落在0中的一个概念，即是一个空概念。显然地，一个概念P落在1中，当且仅当P的外延恰好只有一个个体。但是，要特别注意到的是，“0”和“1”的定义中没有循环，尤其是，没有用到自然数的概念。一般地，当我们定义了自然数n以后，n后面的那个自然数(n+1)就是这样一个概念的概念：一个概念P落在(n+1)中，当且仅当对任何落在这个概念P中的对象x，概念“是P但不等于x”是落在n中的一个概念。不难看出，假如落在“n”这个概念的概念中的概念的外延都恰好由n个个体组成，那么落在“n+1”这个概念的概念中的概念的外延也都恰好由n+1个个体组成。自然数的加法运算，也是在这个基础上定义的：假如m和n都是自然数，那么m+n是这样一个概念的概念，它使得，假如概念P是落在m这个概念的概念中，而且概念Q是落在n这个概念的概念中，而且概念P与概念Q不相交，那么概念“P或Q”就落在m+n这个概念的概念中；而且反之，任何落在m+n中的概念都等价于这样的某个“P或Q”。
有了这样一些明确的关于自然数与算术运算的定义后，弗雷格试图证明，算术中的定理是依概念的定义而为真的分析真理。也就是说，一旦将相关的概念的定义都明确地表达出来，一个算术定理其实就是逻辑真理。以m+n=n+m为例，由上面对m+n的定义不难看出，它之为真，其实是基于“P或Q”在逻辑上等价于“Q或P”这个事实。同样，如果将“2”，“3”，“5”，“+”等等都按前面的定义展开，2+3=5将变成一个在句法结构上非常复杂的命题。但是，弗雷格的结论是，2+3=5本质上就像“今天下雨或者今天不下雨”一样，是一个仅仅依“或者”、“不”这样的逻辑连接词的含义就为真的逻辑真理。当然，2+3=5展开后还会用到很多其它的逻辑连接词，比如“而且”，“对任何”，“如果…，则…”，“当且仅当”等等。弗雷格的具体分析很复杂，我们不能在这里详细介绍，它需要现代数理逻辑的专门知识。但如果成功的话，弗雷格的方法可以很自然地推广到实数理论或其它高等数学中，由此说明，高等数学中的定理也是概念上的真理，或逻辑真理。
我们看到，弗雷格的计划是宏伟的。一方面，他要通过更深入的概念分析，说明像2+3=5这样的判断，也是依概念的意义就为真的，可以由有关概念的定义，通过逻辑推理推导出来。另一方面，他所要概括的不仅仅是这样的初等数学，原则上还要包括所有的数学。他要根除康德的先天综合真理的必要性，给我们一个关于我们的知识的更简单的图画。在这个图画中只有两类真理：一类是事实的真理，它们对现实世界有所肯定，它们之为真，是依赖于现实世界的偶然的实际构成，就像“今天不下雨”那样；另一类就是逻辑真理或分析真理，它们之为真，是由概念的含义本身决定的，与现实世界的实际构成无关，它们对现实世界中的事物无所肯定也无所否定，就像“今天下雨或者今天不下雨”那样。前一类是自然科学中的真理，后一类则包括逻辑和数学中的真理。逻辑和数学就是同样的东西。
如果成功的话，弗雷格应该能比康德更好地提供关于现代数学真理性问题的答案。前面提到，对于现代数学来说，这个问题的难点是，直观上，一方面我们似乎确实有着关于独立于物质世界的无穷的抽象数学对象和结构的知识；另一方面，考虑到我们自身是生存于这个有限的物质世界中的生物，我们如何能够具有那些知识成为一个谜。比如，我们究竟是依据什么知道存在着无穷多个自然数？我们不能通过去数星星或原子的数目来证明有无穷多个自然数。事实上，这个数目甚至可能是有限的。依弗雷格的思想，回答应该是，断言存在着无穷多个自然数，与断言存在着无穷多个星星或原子不同。前者，是纯粹由“自然数”这个概念本身决定的。要认识它，并不需要我们有限的大脑通过感官与某些非物质的无穷的数学对象相接触，只需要我们能够掌握“自然数”这个很具体的概念。通过分析这个概念，我们就可以纯粹从逻辑上，从“而且”、“对任何” 、“如果…，则…”、“当且仅当”等等这样的逻辑连接词的涵义，推导出这个论断。所以，如果成功的话，一方面弗雷格的解答可以包括现代数学，另一方面，它又消解了那个认识论上的谜，而不必去假设我们认知官能的先天结构等等，因此就超越了康德。
但从另一方面看，弗雷格的思想确实也有神秘之处。逻辑真理应该是对任何事物都是真的真理，不管是有穷多个事物还是无穷多个事物。但是回忆一下前面关于自然数0，1，等等的定义。既使物质世界是空无一物，0作为“是一个空概念”这样一个概念的概念还是存在的。然后1，2，3，等等作为概念的概念都存在。由“空”就神秘地生出无穷多个东西来了。这一点，其实与所谓的罗素悖论，及其导致的弗雷格的计划的失败，是密切相关的。
要理解罗素悖论，可以首先注意一下，直观上，有些概念的概念可以应用于自身，有些则不可。比如，“是一个概念”本身也是一个概念，所以，“是一个概念”是一个概念，即这个概念可以应用于自身；反之，“不是一个概念”本身还是一个概念，所以，这个概念不可以应用于自身。现在考虑这样一个概念的概念：“是一个不可应用于自身的概念”。记这个概念为R，那么对任何一个概念X，X是R，当且仅当X是一个不可应用于自身的概念。特别地，概念R是R，当且仅当R是一个不可应用于自身的概念，也就是说，当且仅当R不可应用于R自身，即当且仅当R不是R。所以我们有：概念R是R，当且仅当R不是R。这是一个矛盾。这说明，“概念”这个概念本身并不清晰，无限制的运用会导致矛盾。
在弗雷格的严格的逻辑系统中，这个矛盾可以被严格地推导出来，也就是说，弗雷格的系统是自相矛盾的。所以弗雷格的计划未能成功，而对于数学真理究竟是什么真理，它们之为真的基础究竟是什么这个问题，弗雷格未能给出答案。
5 小结：描述数学真理的几个坐标
如果我们将普通的经验真理，比如像“今天下雨”那样的经验真理，还有自然科学中的描述现实世界的真理放在左边，将像“A或者并非A”那样的空洞、与现实世界的实际构成无关的逻辑真理放在右边，那么，将数学视为一种自然科学的观点是“左派”，弗雷格的逻辑主义是 “右派”，而康德的先天综合真理想法则是“中间派”。这是描述数学真理的一个尺度。我们将要看到，一些哲学家们对数学真理本性的思考，是在这左、中、右之间摇摆。（当然，这与政治上的左、中、右毫不相干。）
另一方面，有一些对数学的解释在不同程度上否认数学定理是真理。这是描述数学真理的另外一个尺度，即从完全否认数学定理表达真理，到接受某些数学定理为真理而否认另外一些，到相信所有的数学定理都表达真理。比如，二十世纪初数学家希尔伯特提出的形式主义。[3]它承认初等数学或有穷数学包含真理，但是认为无穷数学本身只是一些无意义的符号演算。希尔伯特提出一个希尔伯特方案，试图用来说明为什么那些无意义的符号演算能够有用，也能够帮助推导出一些初等数学的真理。由于著名的哥德尔不完全性定理，这个方案不能按原来所设想的那样得到成功。又如，与希尔伯特同时代的数学家布劳维尔提出的直觉主义数学，认为像自然数那样的数学对象是我们在直觉中的构造，而且，只有我们能在直觉中构造出的数学对象才是存在的，关于这些对象的数学命题才是有意义的，因此才可能有真假。换句话说，超出这些数学对象的命题，比如关于无穷基数的一些命题，是没有意义的。直觉主义对数学作了一些限制，使得数学证明变得更复杂，而且似乎是没有必要地复杂，所以它没有被数学家们采纳。还有一些工具论者，他们认为数学仅仅是工具，数学命题没有真假可言，因为它们不是逻辑意义上有真假的判断。他们认为对于数学命题，我们只能问它们是否有用。限于篇幅，我们不能详细介绍这些对数学真理的解释。
这两个尺度就像两个坐标，可以标示不同的对数学真理的解释。由于种种难点，使得哲学家们在解释什么是数学真理时，不得不在这两个坐标所标示各个位置之间摆动。
当然，这样两个尺度还不足以描述数学真理性问题的复杂性。比如，就数学真理的对象来说，有些哲学家，即所谓的柏拉图主义者，认为数学对象是真实存在的独立于物质世界与我们的心灵的抽象实体。有些哲学家，即所谓的结构主义者，强调数学真理表达的是关于结构的真理，而不是关于对象的真理，因此真正存在着的是结构，而不是抽象实体。还有一些哲学家，即唯名论者，认为抽象实体（包括抽象结构）都不存在，因而数学对象也不存在。所以他们实际上认为，数学判断至少在字面意义上是假的，因为它们在字面意义上所说的数与集合等抽象数学对象都不存在。这是描述数学真理的另外一个尺度。当然，这些哲学家强调要区分数学命题字面上的意义和它们的真正的意义，或经过某种解释后的意义。在字面意义上，一个数学命题似乎是在描述一些独立于物质世界与我们的心灵的抽象实体。但是，有些哲学家认为，数学命题的真正意义是与数学对象无关的，而且是纯逻辑的判断；而有另外一些哲学家则认为，经过某种解释后，一个数学命题就是在描述物质世界，因此也就与自然科学中的命题一样。（见下面的第八小节。）
限于篇幅，我们将侧重于前面所提到的第一个尺度，也就是问，数学真理是处于从自然科学中的事实真理，到逻辑真理之间的什么位置上。这也许是比较重要的一个尺度，因为即使是完全否认数学命题本身就是真理的哲学家，也无法否认，在经过恰当的解释后，一个数学定理蕴含着某种意义上的真理。这些哲学家的观点之间的区别，实质上是在于什么才是恰当的解释，如何去作恰当的解释等等。
6 逻辑实证主义者与卡尔纳普：数学真理是语言上的约定
弗雷格将数学归结为逻辑的企图未能成功。现代数学最终是建立在集合论之上。在集合论中，我们不再是像弗雷格那样，从“概念”多少有些神秘地产生出数学对象，而是将集合的存在，比如空集、无穷集的存在，明确地列为公理。所以，集合论至少在表面上似乎是在描述一些特定的对象，而不是像逻辑那样，被认为是仅仅包括对任何对象都真的真理。集合论中的无穷公理、选择公理等等，很难说是纯粹逻辑上的真理。它们都肯定某些特定的事物存在。无穷公理更断言无穷多个事物存在，而逻辑公理应该是对任何可能的事物都是有效的，包括总共只有有限个事物的情形。更何况，一些数学家们还尝试着给集合论增加新公理，以解决一些独立于现有集合论的问题。也就是说，集合论的内容要超出纯逻辑的真理。另一方面，这些数学公理又确实显得不同于普通的自然科学中的有直截了当的事实内容的真理。
面对这样一种状况，一种很自然的反应，是将对数学真理的解释摆回到逻辑真理与科学真理的中间，也就是，从“右派”向“中间派”靠拢。逻辑实证主义者，尤其是哲学家卡尔纳普，表现了这样一种倾向。卡尔纳普将数学视为一种语言，将数学真理视为由语言中的约定而来的真理。为了描述这个世界，我们不得不使用一种语言。采纳一种语言，也就是采纳了一个描述世界的概念框架。在卡尔纳普看来，这包括选择一些语言表达方式，选择谈论某些事物，也包括接受一些关于这些事物的基本假设作为约定的真理。[4]
比如，我们原始的谈论物体颜色的方式，可能只是将表达颜色的词作为形容词，说“这是红的”等等。但是，为了更方便地描述物体的各种不同的颜色属性，我们会选择将“红色” 等表达颜色的词作为名词来用，而说“红色是暖的，而蓝色是冷的”等等。这样，“红色”就似乎指称某个个体事物，似乎有“红色”这样一个东西作为一个个体事物存在，就像桌子、椅子那样的物体一样，而且它还有某些属性，比如它是“暖的”。同样地，我们原始的使用数词的方式也许只是像在“太阳系有9个行星”中那样，并不用数词来指称任何对象，但为了在某些场合下的方便，我们也选择了说“太阳系中行星的个数=9”。这样也就将“9”用作一个专有名词，似乎“9”也指称某个个体事物，某个自然数。同时，我们也谈论自然数的属性、关系，就像谈论物体的属性和关系。这就是选择了谈论自然数的语言框架。这包括将数词用作专有名词，谈论自然数这一类对象极其属性、关系，谈论所有的自然数具有某种属性，或有些自然数具有某种属性等等，还包括接受一些关于自然数的最基本的假设，即关于自然数的公理。
有些哲学家质疑自然数是否“真的存在”，因为如果它们存在的话，它们将不是存在于时空之中，它们将是独立于物质世界的一些对象，仿佛是存在于另外一个宇宙中的事物。卡尔纳普认为，说自然数存在只是意味着我们选择了谈论自然数的语言框架，即将数词用作专有名词等等。一旦选择了将数词用作专有名词，自然数的存在就是语言约定的结果。选择了谈论自然数的语言框架后，我们可以问：“存在着9与13之间的素数吗？”等这样一类问题。卡尔纳普称这一类问题为“语言框架的内在问题”。它们是在选择了自然数的语言框架后，因此也就是约定了自然数的存在和基本属性后，在语言框架的内部提出的。对它们的回答，要看它们能否从关于自然数的那些最基本的假设，即关于自然数的公理，逻辑地推导出来。至于“自然数真的存在吗？”这样的问题，卡尔纳普称之为“语言框架的外在问题”。卡尔纳普认为这样的外在问题是无意义的，因为，一旦接受了自然数的语言框架，自然数的存在就是约定了的；而在接受这个语言框架之前，根本就没有“自然数”这个概念，因此这个问题也提不出来。卡尔纳普认为，对于语言框架的选择，我们只能问它的实际效果如何，它的简单性，便利性如何等等，而不能去问这样一个语言框架是否真正地对应于语言框架之外的某种意义上的“实在”，比如，不能去问我们关于自然数的判断是否符合某些存在于独立于物质世界与我们心灵的数学世界中的对象。
现代科学选择了现代数学的语言，这包括集合的概念和关于集合的公理等等，也包括在这些基础上定义的各种数学结构。所以依卡尔纳普的解释，数学定理，作为由这些公理逻辑地推导出的结论，也是依这个
