黑体辐射是近代物理史上一只会下金蛋的鹅, 是近代物理的摇篮。黑体辐射研究的意义还在于这是唯一一个涉及c, k, h三个普适常数的物理情景。黑体辐射谱抗测量误差的特性带来了辐射标准和绝对温度参照，谱分布公式对模型的不敏感则使得黑体辐射成为独特的物理研究母题。黑体辐射谱分布公式，普朗克多角度推导过，德拜推导过，艾伦菲斯特推导过，劳厄推导过，洛伦兹和庞加莱深入讨论过，泡利推导过，玻色推导过，爱因斯坦在20多年的时间里多角度推导过且产出最为丰硕，近代还有从相对论角度的推导，每一个角度的推导都带来了物理学的新内容，这包括量子力学、固体量子论、受激辐射、量子统计、相对论统计，等等。认真回顾黑体辐射研究的历史细节，考察其中的思想概念演化。不啻于体验一次教科书式的学（做）物理之旅，比如也可以尝试给出能量局域分立化的简单新证明。
撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）
黑，真他妈的黑啊！
——刘慈欣《三体》
7洛伦兹的推导
荷兰物理学家洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz，1853-1928）是近代物理的旗手（所谓的leading spirit），对相对论有基础性的贡献（电动力学，洛伦兹变换），为量子理论思想的接受准备了基础（图18）。1870年洛伦兹入莱顿大学学习物理和数学，1877年24岁时即成为莱顿大学理论物理教授。{忽然想起，可能任何脱离同数学系之间关系的物理系都是个假物理系。}洛伦兹对几乎所有的物理领域都有涉猎，尤以对电动力学和相对论的贡献最显著。洛伦兹关于热力学和统计力学的工作很少有人注意，尽管他有专著和关于黑体辐射的重要文章，比如H. A. Lorentz, Les Théories statistiques en Thermodynamique（热力学中的统计理论）, Teubner(1916)；H. A. Lorentz, Vorlesungen über theoretische Physik an der Universit?t Leiden（莱顿大学理论物理讲座）, Band 1: Theorie der Strahlung（卷一、辐射理论）, Akademische Verlagsgesellschaft(1927)。我猜测，这个卷一应该藏着我们的电动力学教科书该有却没有的关于加速电荷辐射的相关内容。
图18. 洛伦兹于1925
洛伦兹在1903年给出过关于长波极限黑体辐射谱公式的证明[On the emission and absorption by metals of rays of heat of great wavelength, Proc. Amsterdam 5, 666-685(1903)]。洛伦兹认为，辐射可能是物质中的自由电子运动的结果，可从金属导电模型推测其吸收和发射关系。电子的热运动可以解释长波行为，而无需引入发射特定频率
在1906年罗马数学家大会上，洛伦兹又谈论黑体辐射的研究现状。1908年，洛伦兹就自己关于金斯公式的言论再次发文[H. A. Lorentz, Zur Strahlungstheorie （论辐射理论）, Physikalische Zeitschrift 9(17), 562-563(1908)]。洛伦兹指出，金斯的公式是基于能量均分原理，在长波部分是成立的。洛伦兹注意到从当时的电子理论导出辐射公式是困难的。在普朗克的模型中，重物（壁）同以太状态之间的能量交换是由所谓的振子或者类似的粒子所中介的。洛伦兹注意到，德鲁德（Paul Drude，1863-1906）的热导和电导理论意味着金属中存在自由电子，而统计规律对它们来说也应该是适用的。这会导致结论，在振子的影响下会达成一个平衡态，在电子的影响下会达成另一个平衡态。就短波部分而言，如果电子带来很慢的能量迁移过程而振子带来快速的能量迁移过程，就能得到普朗克分布。这段笔者弄不懂其中的道理或者引出这种没道理论述的历史背景，不过洛伦兹的这句话可能是重要的，da man das Kirchhoffsche Gesetz nur verstehen kann, wenn man Absorption und Emission auf nahe verwandte Ursachen zurückführt（只有把吸收和发射过程归于相近的原因，才能理解基尔霍夫定律）。
有文献引用时会说洛伦兹也给出了黑体辐射的新推导，不过笔者细读洛伦兹1910年的文章并没有发现新的推导[H. A. Lorentz, Alte und neure Fragen der Physik （物理学的老问题与新问题）, Physikalische Zeitschrift 11, 1234-1257(1910)]。洛伦兹只是就辐射同物质间建立平衡的关系、普朗克作用量子的意义等内容给出了一些有意义的讨论，比如指出空腔里有完全透明的、不发射的物质也能达成黑体辐射。笔者的另一个收获是知道了光电效应的过程可以和β放射性平行地考虑。得出光电效应的诠释是注意到，出射电子的速度与加热得来的热运动速度特征不符。把电子出射直接同对光量子吸收挂钩是解释光电效应的关键一步，这中间实验还曾验证电子的出射速度似乎与金属的温度无关。
8金斯的努力
金斯爵士（Sir James Hopwood Jeans, 1877-1946）是英国物理学家、数学家、天文学家（图19）。许多学物理的人知道金斯这个名字只是通过瑞利-金斯公式，其实金斯是大神级的天才科学家，24岁起在剑桥任教，1904年27岁时被聘为普林斯顿大学教授。和瑞利爵士一样，金斯是经典物理的旗帜，但其成就多在天文学和宇宙学方面，比如1928年提出的静态宇宙学猜想。金斯爵士是罕见的物理学表述者，思想深刻，文笔优雅，其具体著作包括：
1. The dynamical theory of gases (1904).
2. Mathematical theory of electricity and magnetism (1908).
3. Report on radiation and the quantum theory (1914).
4. Probelms of cosmology and stellar dynamics (1919).
5. Atomicity and quanta (1926).
6. The universe around Us (1929).
7. The mysterious universe (1930).
8. The stars in their courses (1931).
9. The new background of science (1933).
10. Through space and time (1934).
11. Science and music (1937).
12. An introduction to the kinetic theory of gases (1940).
13. Physics and philosophy (1943).
14. The growth of physical science (1947).
都是经典。其中的The dynamical theory of gases和An introduction to the kinetic theory of gases前后相差36年，可见气体动力学理论一直都是他思考的问题。此与黑体辐射有关。Report on radiation and the quantum theory更是关于黑体辐射的专著。
金斯自1900年普朗克理论出现以后的态度先是坚决反对（stauch opposition），后来从1910起黑转粉。金斯认为能量均分定理所要求的瑞利-金斯分布同实验的偏差是因为系统根本没有达到平衡。玻尔兹曼在1895年的Nature文章中也说气体-以太体系没有足够时间达到热平衡。金斯认为哈密顿方程和能量均分都不破坏，那么平衡很难在短期内达到。他甚至要和热力学原理对着干（contravene），认为基于第二定律的论证都是站不住脚的。用热力学第二定律进行的论证（比如玻尔兹曼的）都涉及使用以太作为工质的热机，当然没有这种热机。第二定律只是统计力学的特例，只在系统处于平衡时有用。金斯在1904年的The Dynamical Theory of Gases一书第九章中提出另一个理由，转动、平动向振动模式转移能量很慢，振动模式从来没有得到应有的能量份额。振动能量相对于其模式来说太少了。在金斯看来，系统一直在靠近热平衡态的路上，辐射的强度也依赖于同其相互作用的物质。而在普朗克看来，基尔霍夫函数与物质无关，那我们就是在寻找一种绝对的存在，这就更有价值。
1905年，金斯写了多篇关于辐射与气体动力学的文章，包括
1. The dynamical theory of gases, Nature 71, 607(1905).
2. On the partition of energy between matter and aether, Phil.Mag.10, 91-98(1905).
3. The dynamical theory of gases and of radiation, Nature 72,101-102(1905).
4. On the application of statistical mechanics to the general dynamics of matter and aether, PRSL A76, 296-311(1905).
5. A comparision between two theories of radiation, Nature 72, 293-294(1905).
6. On the laws of radiation, PRSL A76, 545-552(1905).
尤其值得一提的是，On the laws of radiation一文为经典图像和瑞利分布辩护——这让这个分布后来成了Rayleigh-Jeans分布。金斯1905年得到了完备辐射体的公式，即所谓的
金斯于1909年在“Temperature-radiation and the partition of energy in continuous media, Phil. Mag. 17, 229-254(1909)”一文中分析指出，纯由以太构成的体系因为缺乏模式之间交换能量的机制不能达到正态（normal state），这样的态是Rayleigh-Jeans分布。金斯坚持认为，同经典图像契合的分布就是Rayleigh-Jeans 分布。在其1914年的Report一书里他甚至列出三种导出Rayleigh-Jeans 分布的方式：1)振子的辐射；2)自由电子的辐射；3)轨道电子的辐射[James Jeans, The motion of electrons in solids, Phil. Mag. 17, 773-794; 18, 204-226(1909)]。
图19. 金斯
1910年，金斯在“On non-Newtonian mechanical systems, and Planck’s theory of radiation，Phil. Mag.20, 943-944(1910)”一文中明确放弃了他关于黑体辐射的经典观点，原因似乎是因为对拉莫（Joseph Larmor，1857-1942）的工作的响应。拉莫问，是否能调和普朗克谱公式与用连续运动表述的一套物理定律？答案是否定的。普朗克的工作只是表明了量子化是得到谱公式的充分条件。在1910年，金斯提供了一个量子化导致黑体辐射普朗克谱公式的必要性证明，但没有信心，所以他自己也把必要性证明归功于庞加莱1912年的工作。在1914年的Report一书中，金斯毫不掩饰反对辐射的经典图像了。自1914年以后，金斯转身接着研究天文与宇宙学去了，也许他是信了据说是庞加莱的观点，To give further judgment on the quantum theory “would be a waste of paper and ink”（对量子理论作进一步论断只是浪费纸墨）。
金斯的理论分析是有参考价值的。他用刘维尔定理证明均分定理。除了这要求完美反射边界条件，他自己又指出这个理论的另一个缺陷：对短波不存在完美的反射边界条件。金斯认为他对黑体问题的洛伦兹式的分析可以用来得出基本电荷e的值，如果假设辐射来自电子的话。这已是h和k以后黑体辐射谱用来决定的第三个普适常数。
9德拜的推导
德拜（Peter Debye，1884-1966），荷兰人，1936年度的诺贝尔化学奖得主（图20）。德拜在德国Aachen读书时受到维恩、索末菲（Arnold Sommerfeld，1868-1951）等人的影响，后来成了理论物理教授，也领导过实验物理机构。这位德拜先生是个物理大拿，曾是那个充满着物理学的物理杂志之一，Physikalische Zeitschrift, 的主编多年[12]。笔者初识德拜这个名字，是在统计物理教程里，有关于固体比热的与爱因斯坦模型并列的德拜模型，那就是德拜研究黑体辐射的结果。
图20. 德拜
德拜首先指出，普朗克、金斯和洛伦兹等人推导黑体辐射的路子不是无可指责的（unanfechtbar）。洛伦兹从一开始将讨论局限于长波；金斯得到同样的结果却想让其对所有波长有效，但这与实验不符；普朗克公式倒是和实验数据相符，但其推导的两部分是脱节的。德拜表明，普朗克的定律可以由统计物理导出[Peter Debye, Der
Wahrscheinglichketsbegriff in der Theorie der Strahlung （辐射理论的概率概念）, Annalen der Physik 33, 1427-1434(1910)]。德拜自问，是否振子性质的精确知识对辐射定律的推导是必须的？他要寻找出路，仅从量子假说就得到辐射场的性质而不必在振子问题上纠缠。{辐射的平衡态同与之处于热平衡态的物质系统、过程无关。反过来，这提供了许多从具体物质系统、过程推导辐射平衡态的可能性。愚以为，此乃黑体辐射关于模型的独立性，是最值得关注的点。辐射平衡态与壁无关，与腔内的存在无关，还都能从某个具体的存在出发推导出来，这体现的是物理的一致性？}假设就是物质吸收辐射和将辐射转化成其它频率都是以hν量子的形式进行的，这也是普朗克的假设。
拜（和爱因斯坦）都从热力学得到了结论，电磁场能量是量子化的，这个事实不依赖于(模型)振子的性质，但是并没有由此进一步地推导出电磁场的量子化。光的量子化是50年代由Suraj N. Gupta（1924-）和Konrad Bleuler（1912-1992）实施的。啰嗦一句，我个人的感觉是，光的量子化描述目前仍然是一笔糊涂账。物理学是容骗空间最大的学科，这很让一些人如鱼得水。
10艾伦菲斯特的推导
奥地利物理学家艾伦菲斯特（Paul Ehrenfest，1880-1933）是玻尔兹曼的学生, 曾有人称他为物理学的良心（图21）。爱因斯坦、索末菲夸赞艾伦菲斯特是物理课讲得最好的。艾伦菲斯特把玻尔兹曼的工作表述得太通透了，以至于玻尔兹曼都说 “我要是自己理解得这么好，那就好啦”。艾伦菲斯特的夫人塔提亚娜（Tatyana Ehrenfest-Afanasjewa，1876-1964），一个乌克兰数学家，也是热力学-统计物理的大家，他们一起著有Die Grundlage der Thermodynamik（热力学基础）, Zur Axiomatisierung des zweiten Haupsatzes der Thermodynamik（热力学第二定律的公理化）, On the use of the notion ‘probability’ in physics等书。{Physics boys and girls，我就问你们羡慕不羡慕？}
艾伦菲斯特关于黑体辐射的工作，如下几篇文献值得关注：
1. Paul Ehrenfest, ?ber die physikalischen Voraussetzungen der Planckschen Theorie der irreversiblen Strahlungsvorg?nge（论不可逆辐射过程的普朗克理论的物理前提）, Wiener Ber. II, 114, 1301-1314(1905).
2. Paul Ehrenfest, Zur Planckschen Strahlungstheorie（普朗克辐射理论）, Physikalische Zeitschrift 7, 528-532(1906).
3. Paul Ehrenfest,Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der W?rmestrahlung eine wesentliche Rolle（光量子假设的什么特征在热辐射理论中扮演了实质性的角色）？Annalen der Physik 36, 91-118(1911).
4. Tatiana Ehrenfest, Paul Ehrenfest, Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik（力学中的统计表述的概念基础）, Teubner (1912).
5. Paul Ehrenfest, Adiabatische Transformationen in der Quantentheorie und ihre Behandlung durch Niels Bohr（量子理论中的绝热变换及玻尔对此的处理）, Naturwissenschaften 11, 543-550(1923).
6. Paul Ehrenfest, The conceptual foundations of the statistical approach in mechanics, Oxford University Press (1959).
其1912年在荷兰莱顿大学的就职讲座题为Zur Krise der Lichtaether-Hypothese（光以太假设的危机），显然也是基于相关工作。关于艾伦菲斯特关于量子假设必要性的论述，请参阅Luis Navarro, Paul Ehrenfest on the Necessity of Quanta (1911): Discontinuity, Quantization, Corpuscularity, and Adiabatic Invariance, Archive for history of exact science 58(2), 97-141(2004).
图21. 艾伦菲斯特
艾伦菲斯特1906年论文的题目简单明了，就是“论普朗克的辐射理论”。普朗克认为基尔霍夫的空腔辐射普适性可以推广到假想的体系（fingierte Systeme），他自己提出的模型是镜子围成的空壳里面有一个或多个振子。这样的振子由齐次线性振动方程定义，只有辐射阻尼而没有摩擦阻尼{就是凑个数学对象，为了用受迫阻尼振动方程。经典力学的受迫阻尼振动方程简直是电动力学的万金油}，只要在周围真空里稳定下来的辐射是黑体辐射就行。一句话，镜子围成的内有振子的腔体，其结果应和各处都是漫反射的镜子围成的空腔效果相同（因为根本不存在严格意义上的镜子）。既然是纯粹空的，那里面的过程就只是空腔的本征振动的叠加。假设振子对其本征频率附近的波有响应，若有大量的、频率相挨着的振子，这就能把初始时的单色光给改造成连续的谱分布。但问题是，什么样的振子理论总是在熵最大时指向绝对稳定性（黑体辐射）呢？Ein Planckscher Resonator spricht wegen seiner Strahlungsd?mpfung auf Wellen aller Perioden an, die der Periode seiner Eigenschwingung genügend nahe liegen. Es w?re darnach zu·erwarten, da? eine Schar von Resonatoren mit eng aneinander anschlie?enden
Eigenschwingungsfrequenzen, die sich zusammen über das ganze Spektrum erstrecken, imstande sein mü?ten, eine anf?nglich monochromatische Strahlung sukzessive in Strahlung kontinuierlicher Spektralverteilung zu verwandeln.（普朗克振子因为辐射阻尼而对所有频率在其本征振动附近的波有响应。由此可以期待，大量频率互相挨着且覆盖整个谱范围的振子，可以将初始时的单色辐射逐步地转化为连续的谱分布）。艾伦菲斯特指出，如下的理论也归功于普朗克，其为辐射本身提供一个经典的Komplexionentheorie（复合体理论，由complexion，即等价构型数目，导出熵的理
利-金斯公式在高频处显然不满足这个要求，此处艾伦菲斯特用了一个词Rayleigh-Jeans Katastrophe im Ultravioletten，即紫外处的瑞利-金斯灾难，且全文就用了这么一个回。这就是物理文献里泛滥的所谓紫外灾难的来由。写到此处，忍不住多评论几句。在后来的众多物理学文献中，紫外灾难莫名其妙成了黑体辐射的主角，让人误以为是多少有点物理的东西。笔者本人甚至傻傻地误以为紫外灾难的概念出现在普朗克1900年的工作之前，是普朗克要清除（beseitigen）的东西。造成这种局面的动力，可能是源于二流以下物理学家到一般物理传播者的猎奇心理及其对真实物理的不屑（能）一顾。关注物理学深层的内容，可能是一流物理学家的标识。Katastrophe im Ultravioletten就这么出现一次，就被弄得满世界都是，说明劣质科学家还是多啊。与紫外灾难一样被羞辱的，是薛定谔1935年引入的箱子里放猫的模型。薛定谔用放射性-锤子-毒药-猫的模型是要说明聚焦不准带来的照片的模糊同云遮雾罩风景的照片的模糊之间的不同，以类比经典不确定性同量子不确定性之间的不同。愚以为，那不过是独立变量的不确定性同耦合（共轭）变量的不确定性之间的不同而已。所谓的量子力学，不过是不得已用了二元数的物理。[x, p]=i?是个构建二元数的步骤。
时，至少不是独立存在时，是可以消除的。}爱因斯坦此前用两能级的发射-吸收模型也获得了普朗克分布，这个和泡利的图像能统一吗？沿着这个方向思考可获得对光-物质相互作用的深刻、统一认识。考察两能级过程如下。从低能过程向高能过程dW=bρdt；从高能过程向低能过程有dW=bρdt和dW=adt两者。{关键是，这里上下两个过程是不可逆的，而涉及辐射场的两项却用了同样的b系数，体现的是互反原理。}设能量相差hν的两能级占据数之比满足玻尔兹曼关系，n'=n exp(-hν/kT)，于是平衡时有速率方程nb=n'(a+bρ) ，解为
11庞加莱的论证
庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912），法国数学家、物理学家、工程师、哲学家，数学界最后一个啥都懂的人（图22）。庞加莱以数学家、物理学家的身份闻名于世，其对相对论和量子力学的建立都有开创性的贡献，参见拙作《磅礴为一》。庞加莱的物理研究涉及各个领域，自然会关切黑体辐射的研究。庞加莱批评普朗克的理论缺失振子间交换能量的机制，为此他提出两个可能的能量交换机制。其一为多普勒效应。不同运动速度的振子会发出不同的频率；其二，不同本征频率振子间的碰撞导致频率迁移。这个批评对黑体辐射研究意义不大。庞加莱对量子力学的重要贡献，是他于1912年证明了振子模型中能量量
工作，为自1900年普朗克用能量量子化假设，即一定频率的光其能量为的整数倍，得到黑体辐射后物理学家们理解（摆脱）量子概念的努力划上了句号。能量量子化是得到普朗克分布的充分条件很容易验证。实际上，普朗克一直在努力要证明能量量子化是没必要的，如果不是错的，甚至为此在1913年得到了零点能等重要概念（见上）。直到庞加莱的这个数学证明出来以后又过了一段时间，普朗克才消停，而不是如一般量子力学文献所述的那样，到了爱因斯坦1905年用能量量子化解释了光电效应的实验结果就消停了。庞加莱此一工作在众多的量子力学教科书中未见有提及。笔者再次重申，从理论严谨性的角度来看，庞加莱的这个论证是不可或缺的，否则能量量子化一直就是个让人，至少是普朗克本人，无法放心的假设。这个证明，是普朗克、爱因斯坦这种数学水平的人不可能完成的任务。从实用的角度来看，它是通往量子统计和固体量子论的桥梁，懂得这个道理后更加容易理解量子统计。爱因斯坦、艾伦费斯特等人在庞加莱此项工作的基础上很快系统深化了固体量子论。爱因斯坦1917年闲来无事又考虑黑体辐射公式提出了受激辐射的概念，1924年见到玻色（Satyendra Nath Bose，1894-1974）的相空间量子化假设就得出了玻色-爱因斯坦统计和玻色-爱因斯坦凝聚，这是爱因斯坦令笔者崇拜不已的小细节。
图22. 一辈子眼神不好的大神庞加莱
关于庞加莱的证明，有如下参考文献：
1. John D. Norton，The determination of theory by evidence: The case for quantum discontinuity 1900–1915，JSTOR 97, 1-31(1993).
2. F. E. Irons, Poincaré’s 1911-12 proof of quantum discontinuity interpreted as applying to atoms, Am. J. Phys. 69(8), 879-884(2001).
庞加莱对相对论和量子力学的贡献都是奠基性的、一锤定音式的。他对量子化条件作为黑体辐射公式的充分必要条件的一锤定音，其意义不下于强调洛伦兹变换要构成群对狭义相对论的意义。 这一点，在物理文献中竟然长期被忽略了。能够自发地认识到这一点，笔者为自己感到骄傲。
12劳厄的小插曲
劳厄（Max von Laue, 1879-1960）和爱因斯坦同年，1914年因晶体的X-射线衍射获得诺贝尔物理奖（图23）。劳厄1899年在20岁上才开始上大学，先后上了斯特拉斯堡（现属法国）大学、哥廷恩大学、慕尼黑大学，1902年转入柏林大学，跟随普朗克学习，1906年就在索末菲手下获得了私俸讲师的资格。劳厄著述颇丰，主要在X-射线和相对论方面，不在此一一罗列了。有一本关于物理学史的，Max von Laue, Geschichte der Physik, Universit?tsverlag(1946)，被翻译成了多种语言。
劳厄1915年发表了两篇关于黑体辐射的文章，Max von Laue, Die Einsteinschen Energieschwankungen（爱因斯坦的能量涨落）, Verh. der Deutsch. Phys. Ges.17, 237-245(1915)；以及Max von Laue, Ein Satz der
Wahrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung auf die Strahlungstheorie（一个概率计算的定理及其在辐射理论上的应用）, Annalen der Physik (Series 4) 47, 853-878(1915), 爱因斯坦对后一篇论文的回复是在同一期杂志上发表的，见Albert Einstein, Antwort auf eine Abhandlung M. von Laue: Ein Satz der
Wahrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung auf die Strahlungstheorie, Annalen der Physik(Series 4)47, 879-885(1915)。
劳厄思考的问题是，表示自然辐射之振动的傅里叶级数的系数，统计上可以当作独立的存在对待吗？劳厄的结论是，从这个傅里叶展开的系数看，统计上需要的辐射无序，不可能是空间上无序的众多振子共同造成的。辐射的无序，源于单个振子之辐射的无序。笔者对这段内容看不懂，尤其是黑体辐射的爱因斯坦推导、相位相干的激光和黑体辐射的无序源于单个振子辐射的无序，这三个内容笔者一直无法在物理图像上加以调和。
图23. 劳厄
傅里叶分析在托勒密的天文学中即已孕育成型。笔者以为对傅里叶分析之思想角度的认识还有提升的空间。劳厄的这个小插曲很重要。把傅里叶级数的系数当成统计独立的存在对待，爱因斯坦是认同的，是按照ja处理的。1925年，海森堡（Werner Heisenberg, 1901-1976）为构造谱线强度也是把傅里叶系数当作独立对象对待的。这两篇文章要放到一起参详，并关注是否有后续的发展。容笔者有时间仔细研读后再补充。
13泡利的推导
奥地利物理学家泡利（Wolfgang Pauli，1900-1958）是个天才型人物，以对量子力学的贡献和预言中微子而闻名，获1945年度诺贝尔物理学奖（图24）。泡利出生于维也纳，从大学入学到博士毕业在德国慕尼黑大学整整花了三年时间。泡利的物理基础非常好，熟悉热力学, Pauli lectures on physics 包含 thermodynamics and the kinetic theory of gases（卷3）以及Statistical mechanics（卷4），可资为证。泡利1921年博士毕业后去给玻恩当助手，一年后去了哥本哈根。1923年这篇关于黑体辐射的论文就是年仅23岁的泡利在哥本哈根期间写的。
图24. 泡利，著名的物理学的鞭子
1923年是老量子力学已积累了足够多的内容、量子力学马上要诞生的一年(Quantenmechanik一词出现于1924年)。爱因斯坦1916年的黑体辐射推导，是基于辐射场同分子能级上的电子跃迁之间的平衡。那么，对于根本没有内能级的对象，比如电子，同辐射场构成的体系呢？泡利要找到辐射与自由电子之间相互作用的量子版机理，使得麦克斯韦分布的电子同普朗克分布的辐射能处于平衡[Wolfgang Pauli, ?ber das thermische Gleichgewicht zwischen Strahlung und freien Elektronen（辐射与自由电子之间的热平衡）, Zeitschrift für Physik 18, 272-286(1923)]。爱因斯坦为原子体系（通过光吸收-发射）找到了如下的量子机理。吸收和受激辐射都是Erzwungene（被迫的）过程，平衡是自发辐射（体系自身的性质，几率由系数A描述）与受迫过程（吸收+受激辐射。体系在辐射场下的行为，双向的几率由系数B乘上ρ来描述）的竞争。只要
