怎样证明圆周率是一个常数?

人类使用圆周率π有着相当漫长的历史,古人早就知道任何一个圆的周长和直径之比是一个常数,这个常数被定义为圆周率,相关证明方法并不复杂

如上图所示,假设有两个同心圆O1和O2,圆心为O,它们的半径分别为r1和r2,并且r1<r2。然后把两个同心圆分成n等份,考察其中一等份。可以看到,△AOB和△COD均为等腰三角形,OA=OB=r1,OC=OD=r2。再由∠AOB=∠COD,就能证明△AOB∽△COD。由此可得如下的关系:

圆O1和O2内接正n边形的周长p1和p2分别为:

p1=n·AB

p2=n·CD

如果圆分成的等份越多,那么,内接正多边形的周长就越接近于圆,所以圆O1和O2的周长c1和c2与p1和p2有如下的关系:

c1≈p1=n·AB

c2≈p2=n·CD

如果取极限,当圆分为无穷多等份时,即n趋于无穷大时,内接正多边形的周长就会等于圆的周长,所以有如下的关系:

把上述两式经过变形可得如下的形式:

由于相似三角形的关系,AB/r1=CD/r2,所以可以得到如下的关系:

因此,任何圆的周长与直径之比是一个常数,这个常数就是我们所说的圆周率π。

当然,圆的周长与半径的比值也是常数(记作τ,大约为6.28),之所以数学家没有把这个常数定义为圆周率,是因为用圆的周长与直径定义的常数使用起来更为方便,例如,用公式表示圆的面积时,πr^2显然比τ/2r^2来得更方便。虽然曾有人主张把π换成τ,因为在某些公式中用τ会更简洁,但也仅限于少数公式,所以π的地位无可撼动。